פרק 12 - מבחני t
מבחן t לממוצע יחיד
כאשר השונות באוכלוסייה לא ידועה וסטטיסטי המבחן מתפלג t עם N-1 דרגות חופש
נתונים אשר נדרשים לביצוע המבחן
\(\mu\) - תוחלת האוכלוסייה
\(\bar x\) - ממוצע המדגם
\({S_x}^2\) - שונות המדגם
\(N\) - גודל המדגם
סוגי השערות
השערה דו זנבית\(H_1:\space\mu \ne \mu_0\) |
השערה חד זנבית ימנית\(H_1:\space\mu > \mu_0\) |
השערה חד זנבית שמאלית\(H_1:\space\mu < \mu_0\) |
הנחות
- דגימה מקרית ובלתי תלויה של התצפיות
- המשתנה מתפלג נורמלי באוכלוסייה
קביעת רמת מובהקות ואזורי דחייה וקבלה
- \(\alpha\) (רמת מובהקות)
- סוג מבחן (דו זנבי / חד זנבי ימני / חד זנבי שמאלי)
- \(df = N-1\)
- \(t_c(\alpha, \space df)\)
- איזור דחייה
- איזור קבלה
מבחן סטטיסטי
האומד חסר ההטיה לסטיית התקן של האוכלוסייה: \[\hat{S}_{x} = \sqrt{\frac {\sum{(x-\bar x)^2}}{N - 1 }}= \sqrt{\frac {{S_x}^2 \cdot N}{N - 1 }}\]
טעות התקן (סטיית התקן של התפלגות הדגימה של הממוצע): \[\hat{S}_{\bar x} = \frac {\hat{S}_x}{\sqrt{N} }\]
סטטיסטי המבחן:
\[t_{\bar x}=\frac{\bar x - μ_ \bar x}{\hat{S}_{\bar x}}\]
החלטה
מבחן t להפרש תוחלות במדגמים בלתי תלויים
כאשר השונויות באוכלוסיות לא ידועותנתונים אשר נדרשים לביצוע המבחן
\(\bar x_1, \space \bar x_2\) - ממוצעי המדגמים
\({S_{1}}^2, \space {S_{2}}^2\) - שונויות המדגמים
\(N_1, \space N_2\) - גדלי המדגמים
סוגי השערות
השערה דו זנבית\(H_1:\space{\mu_1 - \mu_2} \ne d_0\) |
השערה חד זנבית ימנית\(H_1:\space{\mu_1 - \mu_2} > d_0\) |
השערה חד זנבית שמאלית\(H_1:\space{\mu_1 - \mu_2} < d_0\) |
הנחות
- דגימה מקרית ובלתי תלויה של התצפיות
- המשתנה מתפלג נורמלי בשתי האוכלוסיות
- שוויון שונויות בשתי האוכלוסיות
קביעת רמת מובהקות ואזורי דחייה וקבלה
- \(\alpha\) (רמת מובהקות)
- סוג מבחן (דו זנבי / חד זנבי ימני / חד זנבי שמאלי)
- \(df = N_1 + N_2 - 2\)
- \(t_c(\alpha, \space df)\)
- איזור דחייה
- איזור קבלה
מבחן סטטיסטי
האומד חסר ההטיה לסטיית התקן של האוכלוסייה: \[\hat{S}_{x} = \sqrt{\frac {\sum{(x_1-\bar x_1)^2}+ \sum{(x_2-\bar x_2)^2}}{N_1 + N_2 - 2}}\] \[= \sqrt{\frac {{S_1}^2 \cdot N_1 + {S_2}^2 \cdot N_2}{N_1 + N_2 - 2}}\]
טעות התקן (סטיית התקן של התפלגות הדגימה): \[\hat{S}_{(\bar x_1 - \bar x_2)} = {\hat{S}_x} \cdot \sqrt{{\frac {1}{N_1} + \frac {1}{N_2} }}\]
סטטיסטי המבחן:
\[t_{(\bar x_1 - \bar x_2)}=\frac{(\bar x_1 - \bar x_2) - d_0}{\hat{S}_{(\bar x_1 - \bar x_2)}}\]
החלטה
מבחן t לתוחלת ההפרשים במדגמים תלויים / מזווגים
כאשר השונויות באוכלוסיות לא ידועותנתונים אשר נדרשים לביצוע המבחן
\(\bar d\) - ממוצע ההפרשים בין המדגמים (הפרש עבור כל זוג תצפיות תלויות)
\({S_d}^2\) - שונות ההפרשים בין המדגמים
\(N\) - גודל המדגמים (או - גודל מדגם ההפרשים)
סוגי השערות
השערה דו זנבית\(H_1:\space{\mu_d} \ne d_0\) |
השערה חד זנבית ימנית\(H_1:\space{\mu_d} > d_0\) |
השערה חד זנבית שמאלית\(H_1:\space{\mu_d} < d_0\) |
הנחות
- דגימה מקרית ובלתי תלויה של התצפיות
- המשתנה (d) מתפלג נורמלית באוכלוסייה
קביעת רמת מובהקות ואזורי דחייה וקבלה
- \(\alpha\) (רמת מובהקות)
- סוג מבחן (דו זנבי / חד זנבי ימני / חד זנבי שמאלי)
- \(df = N - 1\)
- \(t_c(\alpha, \space df)\)
- איזור דחייה
- איזור קבלה
מבחן סטטיסטי
האומד חסר ההטיה לסטיית התקן של האוכלוסייה (אוכלוסיית ההפרשים): \[\hat{S}_{d} = \sqrt{\frac {\sum{(d-\bar d)^2}}{N - 1}}= \sqrt{\frac {{S_d}^2 \cdot N}{N - 1}}\]
טעות התקן (סטיית התקן של התפלגות הדגימה של ממוצע ההפרשים): \[\hat{S}_{\bar d} = \frac{\hat{S}_{d}} {\sqrt{N}}\]
סטטיסטי המבחן:
\[t_{\bar d}=\frac{\bar d - d_0}{\hat{S}_{\bar d}}\]
החלטה
מבחן t למובהקות מתאם פירסון
נתונים אשר נדרשים לביצוע המבחן
\(r\) - המתאם במדגם
\(N\) - גודל המדגם
סוגי השערות
\(H_0:\space{\rho } = 0\)
\(H_1:\space{\rho} \ne 0\)
הנחות
- דגימה מקרית ובלתי תלויה של התצפיות
- התפלגות האוכלוסיה היא נורמלית דו-משתנית
קביעת רמת מובהקות ואזורי דחייה וקבלה
- \(\alpha\) (רמת מובהקות)
- מבחן דו זנבי
- \(df = N - 2\)
- \(t_c(\alpha, \space df)\)
- איזור דחייה
- איזור קבלה
מבחן סטטיסטי
\[t=r \cdot \sqrt {\frac{N - 2}{1-r^2}}\]