פרק 13 - מבחני F
ניתוח שונות חד גורמי (One-Way ANOVA)
סוגי השערות
\(H_0:\space{\mu_1} = \mu_2 =\space...\space= \mu_n\)
\(H_1:\space else\)
הנחות
- דגימה מקרית ובלתי תלויה של התצפיות
- המשתנה מתפלג נורמלית באוכלוסיות
- שוויון / הומוגניות שונויות
- המדגמים בלתי תלויים
קביעת רמת מובהקות ואזורי דחייה וקבלה
- \(\alpha\) (רמת מובהקות)
- מבחן חד זנבי ימני
- \(df_B = J - 1\)
- \(df_W = N - J\)
- \(t_c(\alpha, \space df_B, \space df_W)\)
- איזור דחייה
- איזור קבלה
מבחן סטטיסטי
שונות בין הקבוצות: \[ MSB = \frac{\sum_j n_j \cdot (\bar x_j - \bar {\bar x})^2} {J - 1} \]
שונות בתוך הקבוצות: \[ MSW = \frac{\sum_i \sum_j (x_{ij} - \bar x_j)^2} {N - J} \]
סטטיסטי המבחן:
\[F = \frac {MSB}{MSW}\]
החלטה
ניתוחי המשך (קונטרסט)
\(J-1\) השוואות אורתוגונליות - סידורים אפשריים
עבור שלוש קבוצות:
\[c_1 = (-1,\space1,\space0)\] \[c_2 = (-1,\space-1,\space2)\]
עבור ארבע קבוצות:
\[c_1 = (-1,\space1,\space0,\space0)\] \[c_2 = (-1,\space-1,\space2,\space0)\] \[c_3 = (-1,\space-1,\space-1,\space3)\] עבור חמש קבוצות:
\[c_1 = (-1,\space1,\space0,\space0,\space0)\] \[c_2 = (-1,\space-1,\space2,\space0,\space0)\] \[c_3 = (-1,\space-1,\space-1,\space3,\space0)\] \[c_4 = (-1,\space-1,\space-1,\space-1,\space4)\]
מבחן סטטיסטי - עבור כל סט משקולות
\[df_{comp} = 1\] \[MS_{comp} = n\cdot\frac {\sum_i c_i \cdot \bar x_i}{\sum_i {c_i}^2}\] \[F_c(\alpha, \space df_{comp}, \space df_{W})\] \[F = \frac {MS_{comp}}{MS_W}\]החלטה
מבחן F למובהקות שוויון שונויות
סוגי השערות
\(H_0:\space{{\sigma_1}^2} = {\sigma_1}^2\)
\(H_1:\space{{\sigma_1}^2} \ne {\sigma_1}^2\)
הנחות
- דגימה מקרית ובלתי תלויה של התצפיות
- המשתנה מתפלג נורמלית באוכלוסיות
קביעת רמת מובהקות ואזורי דחייה וקבלה
- \(\alpha\) (רמת מובהקות)
- מבחן חד זנבי ימני
- \(df_1 = n_1 - 1\)
- \(df_2 = n_2 - 1\)
- \(t_c(\alpha, \space df_1, \space df_2)\)
- איזור דחייה
- איזור קבלה
מבחן סטטיסטי
האומד חסר ההטיה לשונות האוכלוסייה: \[ {\hat S_1}^2 = \sqrt{\frac {\sum{(x-\bar x_1)^2}}{n_1 - 1 }}= \sqrt{\frac {{S_1}^2 \cdot n_1}{n_1 - 1 }}\] \[ {\hat S_2}^2 = \sqrt{\frac {\sum{(x-\bar x_2)^2}}{n_2 - 1 }} = \sqrt{\frac {{S_2}^2 \cdot n_2}{n_2 - 1 }}\] סטטיסטי המבחן:
\[F = \frac {{\hat S_1}^2}{{\hat S_2}^2}\]